masuhebo : Cuadrados Mágicos: patrón de diseño

Huga, la tortuga

Cuenta la leyenda que hace más de 2000 años antes de nuestra era, en la antigua China, el gran Río se desbordó como tenía por costumbre y que, aunque se le hicieron las ofrendas anuales, no dejaba de crecer amenazando seriamente a cuantos habitaban en sus orillas.

El emperador Lo-Shu, muy preocupado, convocó a los sabios del país, pero nada de lo que éstos proponían conseguía su propósito.


Magic_square_Lo_Shu http://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Magic_square_Lo_Shu.png

Dicen que, un muchacho observó que cada vez que se hacía una ofrenda al Río, una tortuga con extraños dibujos en su caparazón se paseaba alrededor de la misma y volvía a entrar en las aguas.

Finalmente, se pudo descifrar el mensaje que el Río daba a través de la tortuga:

¡¡Quería recibir 15 ofrendas simultáneas!!

Así lo hicieron, y el gran Río volvió a su cauce desapareciendo el peligro.

La imagen representa los extraños dibujos de la concha de la tortuga de esta leyenda.
Sustituyendo cada figura por el número de puntos que la forman, obtenemos la distribución, en tres filas y tres columnas, que aparece en la imagen.

Se trata del Cuadrado Mágico, de orden 3, ó (3 x 3), más sencillo y que contiene todos los números del 1 al 9.

¿POR QUÉ SE LE DENOMINA CUADRADO MÁGICO?

Si sumamos los números de cada columna, obtenemos como resultado siempre, 15

4 + 3 + 8 = 15	9 + 5 + 1 = 15	2 + 7 + 6 = 15
Si sumamos los números de cada fila, obtenemos de nuevo el mismo resultado: 15

4 + 9 + 2 = 15	3 + 5 + 7 = 15	8 + 1 + 6 = 15

Si sumamos los números que forman ambas diagonales, ¡también obtenemos el mismo resultado,15!

4 + 5 + 6 = 15	2 + 5 + 8 = 15

Así se comportan los Cuadrados Mágicos. El resultado de las sumas de las filas, de las columnas, y de las diagonales, es siempre el mismo. Se le denomina la "constante mágica" del cuadrado.

Así pues, la constante mágica del cuadrado Lo-Shu es 15. El número de ofrendas que, según la leyenda, debían hacer al Río.

Hay cuadrados mágicos de orden 4, 5, ..., cada uno con su correspondiente constante mágica.

Melancolía
A. Durero 1514
http://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_I

Uno de los primeros cuadrados mágicos de las artes europeas, y quizá el más famoso, sea el que Alberto Durero incluyó en su litografía Melancolía, realizada en 1514. Se trata de un cuadrado (4 x 4), de constante mágica 34.

Las cifras centrales de la última fila, 15 y 14, corresponden al año en de ejecución de la obra.

En este cuadrado mágico, además de ser constante el resultado de la suma de filas, columnas y diagonales, la suma de los números de los 4 cuadrados (2 x 2) en que podemos descomponer la figura, y la de los números situados en las cuatro esquinas del cuadrado original, es también es 34.


16+3+5+10 = 34	2+13+11+8 = 34	9+6+4+15 = 34	7+12+14+1 = 34	16+13+4+1 = 34

Algunos cuadrados mágicos contienen interesantes patrones de diseño, como es el caso del cuadrado Lo-Shu.

Para descubrirlo, basta con trazar segmentos que unan los números de forma consecutiva.

Una vez obtenido este módulo de diseño, basta con aplicar transformaciones en el plano: simetrías de eje y/o traslaciones, para obtener diferentes diseños.

Aplicando simetrías de ejes perpendiculares:

Obtenemos este diseño:

Aplicando simetrías de ejes verticales y traslaciones de vector perpendicular a dichos ejes:

Y además, con una simetría de eje horizontal, obtenemos este otro diseño: